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TRAITE ELEMENTAIRE

MÉCANIQUE

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TRAITE ELEMENTAIRE

MÉCANIQUE

IMPRIMERIE DE H. L. PERRONNEAU.

TRAITÉ ÉLÉMENTAIRE

DE MÉCANIQUE,

•ADOPTÉ DANS L'INSTRUCTION PUBUQUEj PAR L. B. FRANCCEUR,

Professeur aux Lycées de Paris , Examinateur des Candidats de rExîoIe Impériale Polytechnique y Membre associé du, département de la marine de l'Empereur de Russie j^ de la Société d'émulation de Cambrai. . .

/QUATRIEME EDITION,

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A PARIS;

Wz BERNARD y LiBKAïKE CE l^Egole Impériale

PoLTTECaiïIQXTE^ QUAI DES AxJGUSTIZÏS^ W®. 25..

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M. DCCC. VII.

i

ce Au milieu de riufÎBie variété des phénomènes qui se succèdeiil» u continuellement sur la terre; on est parvenu à démêler le petit (c nombre de lois générales que la matière suit dans ses meuve-' n mens. Tout leur obéit dans la nature; tout en dérive aussi (c nécessairement que le retour des saisons^ et la courbe décrite -> <c par Tatôme léger que les vents semblent emporter au hasard p M. est réglée d'une manière aussi certaine que les orbes plané- Xc taires. »

LjL Plagb, Système du monde y livre III.

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A

P. S. LA PLACE,

CHANCELIER DU SÉNAT,

MEMBRE DE L'INSTITUT IMPERIAL

DES SCIENCES ET ARTS,

AUTEUR

DE LA MÉCANIQUE CÉLESTE,

L. B. ERANCCEUR.

VJET Ouvrage est celai que le Goùyemement a adopté pour renseignement dans les Lycées iiiperiaux y et que les célèbres professeurs de TEx^ole Impériale Polt« TEGBNiQUE out placé parmi les livres classiques dont Fétude est ordonnée aux élèves de cette Ecole. Afin de prouver au public ma reconnoissance pour Taccueil favorable qu'il a fait aux trois premières éditions de ce Traité, je lai revu avec le plus grand soin; jai développé quelques passages difficiles ou obscars ; j'ai fait disparoitre des incorrections , et j'ai ajouté diverses théories importantes qui manquoient à l'ouvrage, ce qui la augmenté d'environ trois feuilles. Aussi je puis affirmer qu'il n'est aucane partie qui. nait été, ou corrigée dans ses détails, ou tout- à-fait changée. M. Poisson ^ instituteur à TEcole Impériale Polytechnique, a bien voulu me prêter ses secours obligeans dans cette réforme.

C'est sans doute un désavantage que chaque édition éprouve des variations qui rendent inutiles les éditions pré- cédentes : mais on est amplement dédommagé de cet inconvénient , lorsque le livre sur-tout est d'un prix modéré et invariable , par la facilité de Tétude et la perfection des théories. Maintenant, ce Traité a reçu la forme qu'il paroic devoir conserver, et j'ai la certitude que, si on est suffi- samment préparé sur l'analyse géométrique, différentielle et intégrale , on pourra le comprendre aisément , et se livrer k l'étude des Mécaniques céleste et analytique -y but que j'ai eu sur-tout en vue dans la composition de ce Traité.

J'ai évité l'emploi des méthodes synthétiques, qui, dans les choses compliquées, sont ordinairement confuses, et qui d'ailleurs ne sont point d'accord avec l'esprit d'invention et le langage de la Mécanique transcendante. Par les mômes

raisons , je n'ai jamais énoDcé les théorèmes ayant lenr ^lémonstration. Quant aux proportions , je ne les ai jamais écrites sous la forme reçue ^ A : B i: C: D -y mais sous celle

A C

qui lui équivaut -j^ = "jr - Sans m'arrêtera développer

les avantages de ce changement, il me suffit de faire re- marquer qu'il est inutile d'avoir deux manières de repré- senter les idées, et qu'on doit préférer celle qui se prête à toutes leurs combinaisons : cette dernière propriété appar- tient essentiellement aux équations.

Les ouvrages les plus répandus et les plus estimés sont ceux j'ai renvoyé, lorsque j'ai supposé quelque théorie connue : je terminerai en les indiquant.

Mécanique céleste y de La Place.

Exposition du Système du monde ^ Idem.

Mécanique analytique y de Lagrange.

Analyse géométrique ^ de Monge*

Calcul différentiel et intégral y de Lacroix, 2^ édit. ^ et les

autres ouvrages de ce géomètre. Architecture hydraulique ^ de Pronj. Mécanique philosophique y Idem. Principes de ^équilibre et du mouvement ^ de Carnot. Géométrie analytique y de Biot, i"". édit. Astronomie physique. Idem.

Physique mécanique de Fischer, traduite par Biot. Physique de Haûy. Géométrie de Legendre. Céodéiie de Puissant, etc

4ta

TABLE DES MATIÈRES.

Pages.

Définitions y notions préliminaires i

LIVRE I. STATIQUE.

CHAP. I. Ecfuations d'équilibre^

ï.* Propositions générales ». 6

II. Parallélogramme des forces 1 1

III. Des forces qui concourent en un même

pointj momens ••••••••••• 19

IV. Des forces parallèles y momens 55

V- Des forces de directions quelconques agissant

sur un corps solide ..•••••••. 4^

VI. Des pressions sur les points et axes fixes. . 58

CHAP. n. Centres de gravité.

I. Propositions générales ••.••••••• 61

II. Des corps term inés par des droites et des plans. 68 m. Des courbes , des aires et des volumes. . . 74

IV. Méthode de Guldin 95

CHAP. nr. Machines.

I. Polygone funiculaire y cordes y chatneUe. . 98

II. Equilibre sur une surface^ Plan incliné . . 112

III. Levier y balance y romaine. «... 129 rV". Poulie y mouffles i54

V. Treuil^ cabestan; roue de carrières . i58 VI» Roues dentées j horloges y montres* ..... 142 VIL Crie. , . . . 184

VIII. ris i55

IX, . Coin i58

*j TABLE DES MATIÈRES.

CHAP. IL Des fluides îmcompressihtes

et pesans.

L Sjrphons ; niveaux ; pressions qu'éprouvent les surfaces planes plongées dans un fluide ; centre de pression ; vannes décluse . Sg^

n* Equilibre des corps flottans ; pressions qu'é- prouvent les surfaces courbes plongées dans un fluide, •••••••••••. 4^

IIL Pesanteur spécifique , aréomètre , balance

. hydrostatique .•••••••••••. 4^9

rV. Stabilité et oscillations des corps flotians ;

métacentre .•^•. •••••••••• 4^7

CHAP. IIL Fluides pesans de densité

variable^ .

I. Fluides hétérogènes pesons et incompressibles. 4^

IL Fluides élastiques. •••••• 4^

IIL Baromètre; moyen de le faire servir à la

mesure des hauteurs ••••..•••• 44^

IV. Des pompes .••.••••••••••• 4^^

LIV. IV. HYDRODYNAMIQUE.

I. Circonstances du mouvement et un fluide dans

r hypothèse du parallélisme des tranches. 4^9

IL Cas oii V orifice est infiniment petit -y Clep- sydres 4^7

JIL Equations générales du mouvement des fluides.* 476

CALCUL DES VARIATIONS 485

DIVERSES VALEURS NUMÉRIQUES. •. 5o4 TABLE DE PESANTEURS SPÉCIFIQUES . . / 607

Fin de la Table.

TRAITE

DE

MÉCANIQUE ÉLÉMENTAIRE.

I . \Jw dit qu'an corps est solide , lorsqu'il est composé ^ de parties ou molécules adhérentes les unes aux autres^ c'est-à-dire qu'on ne peut séparer sans effort. Les mé-^ taux^ les pierres y etc. sont autant de corps solides. On appelle Jluide toute substance composée de molécules peu adhérentes ^ et susceptible d'obéir au plus léger effort : l'eau y l'air y etc. sont des fluides.

2. L'espace est une étendue considérée comme sans bornes ^ immobile et pénétrable à la matière. C'est à cet espace y réel ou idéal ^ qu'on rapporte^ par la pensée^ la position des corps. Le mouvement est l'état d'un corps qui ne demeure pas constamment dans un même lieu , c'est-^-dire qui n'est pas toujours à la même distance des divers points fixes de l'espace : cet état est opposé à celui du Rxpos.

Ainsi concevons dans l'espace trois plans fixes ; si on a * déterminé la position d'un point par ses distances à ces plans ^ on dit que ce point est en mouvement ^ lorsqu'il ne conserve pas ces distances ^ et que dans deux instans successifs quelconques ^ les perpendiculaires abaissées de ce point sur les trois plans fixes changent de grandeur*

1

2 , Traité

é 5. Un point en repos ne peut se donner aucan çioa*- vement , puisqu'il ne renferme pas/ en soi de raison pour se mouvoir dans un sens plutôt que dans un autre. La cause qui change l'état d'un corps, en le faisant passer ainsi du repos au mouvement, est ce qu'on appelle force ou PUISSANCE. Nous rencontrons à chaque instant l'occasion de remarquer cette action singulière j les attractions, les chocs , la chute des corps produite par la pesanteur, les corps qui sont entraînes par le courant d'un fleuve, l'atome léger emporté par les vents , et le boulet chassé du canon par la poudre enflanmiée en sont autant d'exemples. * Il n'est guère d'efforts qu'on n'ait tentés pour découvrir la nature des forces : mais ils ont tous été iuuti^s , et nous ignorons completlement la causé de cette modifica- tion singulière, en vertu de laquelle la matière devient animée. Mais heureusement les principes de la mécanique ne sont nullement intéressés a celte découverte, et' nous pouvons y renoncer sans regrets. Les forces ne nous im- portent que par les inouvemens qu^elles sont capables de produire; leurs effets et les fois de leur action sont les seules choses que la mécanique envisage et calcule. *- '4* ^ ^^^ d'inertie est le fondement de la mécanique^ cette loi consiste en ce que tous les corps, soit eh repos j soit en mouvement ^ doivent être considérés comme per-- sévérant dans Vétat ils sont. Nous venons de dire qu'un corps en repos doit y rester si aucune force n'agit sur lui; mais s'il est sollicité par une force qui Taban- donne ensuite à lui-même ( ce qu'on exprimé en disant qu'il n'est mu que par un Choc ou une Impulsion ) , il est d'abord clair que le mouvement aura lieu dans la droite suivant laquelle s'exerce l'action de la puissance; car il n'y a aucune raison pout que ce corps s'écarte plutôt à droite qu'à gauche de cette ligne, qu'on nomme la Direction

DE MÉCAmqUE ÉLÉMENTAIRE. 3f

de la puissance. De plus ^ on peut voir quç ce corps, se retrouvera toujours dans les mêmes circonstances que lorsoue la force Ta animé j et voici comment Laplace rend raison de ce phénomène. (Sjyst. du Monde ^ pag. i38. )

« La nature de la force motrice étant inconnue , il esf *

.1 ' , * *

« impossible de savoir à priori si cette forcé doit se con- cc server sans cesse. À la vérité^ un corps étant incapablq vi de se donner sfucun ' mouvement ^ il paroit également ce incapable d'altérer, celui (|u-il a^reçu-^ -de sorte que la <f loi d'inertie est au moins la plus naturelle et la plus m simple qu'on puisse iptiaginer. Elle, est d'ailleurs coti- u firmée par l'explénenGe : en effet y nous .observons sur o la terre que lés piouyei^ens se perpétuent plus, longtems u à mesure que 1^ obstacles qui s'y opposent viennent à V diminuer^ ce qui nous porte à croire que sans ces a obstacles ils du^eroi^nt . jtQuioucs^i Mais l'inertie de la (c matière est principalement remarquable dans les mou* ce vemens cèles te^y<qq|i)- depuis: 4in> ^^âfnd" nombre de <f siècles ; n'ont pj^s . éprouvé d'altérâ^V^ èensibïe. Ainsi « nous regaWèrbns.Vj^uerti^ pompiç une, loi, de la nature j « et lorsque nous observerons de.l[allératjpu dans le mou- « vement d'un corps, nous supposerons qu'elle est due fc à P«ction d'une canâè étrangère. Wf.f^ij^éz aussi* les ' Mélanges de Turin j' iotn. II, pag. 5ô8») ■'

5. Lorsque kS"forèerf qui agissent siir ira système n'y * produisent pas le: mouvement^ ©h: ««prime cet état de repos en disant que le système est en Equilibre- C*est visiblement ce qui a lieu quand deux foices égales et opposées agissent sur un point matériel. Comme il con- vient de procéder dans Tétude , du simple au composé , et que les questions de mouvement peuvent être rame^ nées à celles moins compliquées de l'équilibre^ on doit traiter d'abord ces dernières. Tel est le but de la

LIVRE PREMIER.

STATIQUE.

•*<-*-

"^■p»

CHAPITRE PREMIER.

iJjUATIONS d'ëQUILIBRE.

I. Propositions générales.

-k 8. Xjà statique est science de l'équilibre ) elle est indépendante de la- notion du tems*

t 'ik II est évident qu'on peut^ sans altérer l'état étiin sys^-» téme , j- introduire ou en supprimer des forces en équi- libre entre elles»

Tk Lorsque des puissances ne se font pas équilibre ^ il est clair qu'en introduisant de nouvelles fprces dans le système, on peut le réduire au repos : les forces égales et opposées à celles-K:i .sqnt appelées.; /^e^i/Z/^zn/e^ y les puissances du sjrstênie en sont les Composantes.

* Le problème de la Composition des forces consiste à trouver la résultante d'un système donné de puissances^ rig. I. celui de la décomposition des forces en est Tinvcrse. Soient deux forces P çf, Q sollicitant une molécule A ) par le pre- mier problême on cherche leur résultante Ry c'est-à-dire la force égale et opposée à celle R' qui les réduit à l'équilibre j par le second, au contraire, on cherche deu3( forces P et Q dont la résultante soit R*

Composition des forces; 7

9. Il faut d'abord observer que, d'après cette définition^ * on doit regarder la résultante de plusieurs forces comme destinée à produire le même effet qu'elles auroient produit par leur action simultanée, et par conséquent aies rem- placer : de sorte que la direction de la rés>ultante est celle du mouvement, lorsque le mobile est un point matériel. En effet, soient P) Q , jR. . . des force/ en équilibre , et la * résultante de P et Q : on ne changera rien au système ïig- «« en y introduisant cette résultante Xy et la force X* égale et opposée (8). Mais par hypothèse P , Q et X' sont en équilibre; donc, en les supprimant, il reste X^ R.,,., également en équilibre. De même si les forces P, Q, /î. . , ne se détruisent pas , le même raison- nement prouve que la force qui leur fait équilibre le fait aussi, à Xf il.... Dqnc on peut ^ sans changer la résultante ou l'état d*un sj" sterne , substituer à plusieurs forces leur résultante.

10. Deux forces agissant suivant la même ligne et it dans le même sens, ont une résultante égale à leur somme* Il est clair que ce principe ne seroit sujet à con- testation qu'autant qu'on voudroit désigner que l'effet produit par la résultante est la somme des effets dont les composantes sont capables. Or c'est ce que nous ne vou- lons pas dire par notre principe j car quoique ce fait soit vrai, ainsi qu'on le verra plus tard (146), il est susceptible de démonstration, et pourroit même ne pas avoir lieu; mais il seroit déplacé de traiter ici cet objet, puisqu'en statique on ne considère point l'effet des forces. On ne doit regarder ce théorème que comme la définition du mot Somme , considéré comme ap- plicable aux forces. Ainsi nous disons d'une force qu'elle

est double, triple d^une autre, lorsqu'elle est

capable de faire équilibre à deux, à trois. ••• forces qui

8 Statique*

agiroient dans le même sens et serojent égales à cette fiernière (*). * ' II* n est facile de concevoir maintenant comment on introduit les intensités des puissances dans le calcul : car comme les forces sont des choses d'une même espèce , en en prenant une quelconque pour unité ^ l'expression de toute force n'est p)u8 qu'un rapport ^ ou une quantité mathématique^ qui peut être représenté par des nombres ou par des lignes. Ainsi lorsque nous dirons qu'une r\%. t. force P est représentée par la )igne AB ^ il faudra con- cevoir que cette h'gne est la direction même de la puis- sance, et que la longueur AB contient l'unité linéaire AE y autant de fois que la force P contient l'unité de

P AB Sprce 1$ , c'est-à-dire qu'on a ^ = ^.* Nous pou- vons donc dire que P = AB , puisque S est l'unité de force y et que AE est l'unité linéaire, j^ Pareillement lorsqu'on considère deux forces P et Q , ri|. 1. et qu'on veut les représenter par des lignes , il suffit de

(*) Il me semble que rcltc manière de pri^scnter les principes de la mëroTiique et d'introduire Ja mesure des forces dans la statique est à Tabri de toute objection. Oa ne peut, par exemple , tfleYer celle de M. Carnot dans son traité des Principes fonda* mentaux de Véquilibre et du mouvement. Ce savant géomètre s'exprime ainsi dans sa préface > pag. xij : «• Qu'est-ce que le « rapport de deux causes différentes !^Ces causes sont-elles la « volonté ou la constitution pbysîqne de l'bomme ou de l'animal

qui , par son action, fait naître le monyement I Mais qu'est-ce « qu'une volonté double ou triple d'une autre volonté , on une « constitution pbysique capable d'nn effet double ou triple d'un « autre ) La notion du rapport des forces entre elles considérées

comme causes n'est donc pas plus claire que celle de ces •• forces elles*mèmcs.

Composition dbs forces. g

prendre ces droites suivant le$ directions mêmes des forces, ' €t'de déterminer sur ces lignes deui^ parties AB et AC qui soient entre elles dans le même rapport que ce^ forces ,

ae sorte qu'on ait -pr- = -^^r;*

Comme il est indijFérei^t faire entrer les forces dans * le calcul en les représentant par des nombres ou par des lignçs, nous préférerof^^ <lans la suite le premier moyen; car en regardant les forces comme des nombres abstraits , on fait une chose plus conforme au génie de l'algèbre | ^uî vent que tputçs les graadeui? soient rapportées à une unité y et ne soient plus traitées que d'une manière pure- ment abstraite. En représentant au contraire les forces par des lignes y on traite la théorie sous une forme plutôt géométrique qu'algébrique. Ainsi donc on ne devra pas oublier ; dans le petit nombre de cas oii les forces seront représentées par des lignes, que ce procédé graphique n'est nullement nécessaire y et qu'on ne l'emploie que pour énoncer certains résultats sous la forme qui leur est ' consacrée. *

12. Le problème de la composition des forces , lors- t qu'elles ont même direction , est renfermé dans ce qu'on a dit (lo) ; car en considérant les forces deux à deux, il est facile d'en conclure que plusieurs forces qui agissent suiHÊuit une même droite y équivalent à une seule égale à leur somme y si elles agissent toutes dans le niéme sens; ou égale à l'excès de la somme de celles qui agissent dans un sçns y sur la somme de celles qui agissent en sens opposé. Cet énoncé peut être simplifié par une con- sidéralion particulière : car si on regarde les forces qui agissent dans un même sens comme positives , et celles qui agissent en sens opposé comme négatives , on pourra dire que la résultante de plusieurs forces qui agissent

ïo Statique.

suivant la même droite est égale à leur somme y en prenant ici le mot Somme dans le sens qu'on lui attribue en algèbre. Fig. II. Lorsque les composantes ont des directions différentes , comme les forces P, Q, /?.... (fig. ii), il est plus difficile d'obtenir leur résultante. Nous allons avant tout poser quelques principes qui serviront à cette recherche.

* i5. Dans tout système de forme invariable j on peut prendre pour point et application de chaque puissance , Vtm quelconque de ceux de sa direction. Car si en un point de la direction d'une force P on apptique deux forces qui lui soient égales et qui soient opposées entre elles (8) y comme les distances du système sont invariables , l'une de ces forces détruira la puissance P (5) 5 la secondé restera seule et ne sera ajutre chose que la force P trans- portée en un autre point de sa direction^ point qui d'ail- leurs est quelconque.

* Il suit de que lorsqu'un' obstacle fixe est placé sur la direction d'une force, elle la détruit, puisqu'on peut la supposer appliquée à l'obstacle même.

* 14. Soient deux forces .P et Q quelconques j comme rig. I. Q ne tend qu'à faire passer le point mobile^ en-<iessous

de jiB y et que de même P élève ce point en dessus de AC j il devra, comme on voit, se mouvoir dans l'angle PAQ'j donc (9) cet angle contiendra la direction de la résultante» 4> Soit AR la direction de la résultante R de deux forces pig. 3. quelconques Pet Q 5 si Ç croit et devient Q + 7 , on composera d'abord Q avec P , et ensuite (9) leur résul- tante R avec q : et comme la nouvelle résultante S doit ^tre située dans l'angle RAQy on voit que lorsque Vune des deux forces croit seule ^ la résultante fait avec elle un angle moindre. ^

■^

Composition dss forces* ii

x5. T/û résultante de deux forces est située dans leur * plan} car il n'y a pas de raison pour que le point mobile qu'elles sollicitent s'ccarte plutôt en dessus qu'en dessous de ce pl^n (9). Le même raisonnement prouve que si les deux forces sont égales , leur résultante divise Van^e qv^ elles forment entre elles en deux parties égales*

II. Parallélogramme des forces*

16. Occupons-nous de la recherche de la résultante de * deux forces P et Q , et d'abord de sa direction. Pour Fig, 4. cela , regardons Q comme composée de deux autres forces q et q' (10), de sorte que Q=9'-|- q* Composons avec P la partie ^^ de Q ; et soit AR la direction inconnue de leur résultante R> Prenons sur AP un point quelconque D) formons le parallélogramme CD , et regardons-en les points A, B, Cy comme liés entre eux par des verges AB^ ACy B C, et soumis à l'action de nos forces ^ et il, que nous pouvons Considérer(i5) comme agissant, l'une en C suivant CHy Taulre en B suivant BR^ Décomposons la force R en deux autres suivant BG et BF'y nous reproQuirons visiblement nos deux composantes , Tune </' suivant BK , l'autre P suivant BF ; celle-ci peut être appliquée en Cy et composée avec celle q qui agit en CQ j prenant CG pour la direction de leur résultante S , les deux forces P et Q auront même résultante que S tlq') ainsi le point de concours G est. sur sa direction. Or H G parallèle à AD , montre que cette résultante est dirigée suivant la diagonale ^G du paral- lélogramme AHGD, dont l'un des côtés AD est arbitraire; de sprte qu'il suffit de trouver l'autre côté AH,

A cet effet , remarquons que si Q est double de P , * en prenant ^' = «7 = P, AR et CS doivent diviser en deux parties égales (i5) les angles CAD y HCB : ainsi CD ^t HB sont des rhombcs; donc AC=ADz:=z CB— IIC]

12. Statjque.

et le c6té AH est double de AD* De même si Q est triple de P^ en prenant q' ziznP et ^=rP^ dans le paraHélogramme CD ^ >^C sera double de AD\ et coiliiiie WB sera encore un rhombe , on aura AH triple de jiD» §i Q= 4 ^ , pij fçra q' z=i5 P ^ q :zs.P y et par opnsé- qaent ^<i7= 5 >{ ^Z> j d'où ^^ = 4 x ><i>* En ^én^ si Q = nP , on a AHz=. n x u^Z>. * Mais si Pz=:na, et Q=:2«, on fera ^ = ç'=é«j le parallélogramme CD y d'après ce qu'on vient de dire, devra avoir AD = n.AC'y de même HC sera = AC i

ainsi on aura AIf:=. a AC^ d'où --r^r- = ss -^,

Si Pz=,nÊk et Q = 5«; on fera ^= 2c et ^ =.« : la longueur ^C devra satisfaire à la condition ci-dessus

^e 2 . , cH i .

--ï_= ; on aura aus^i —7=1- = ; donc en aioa-

AD n AD n *'

AH 5 Ç e. r. ^ /

tant, —TTT- r= = -i-. & P=:nH et 0=4«, oi|

' AD n P :^ ^ , / .

fera 9' = 5«etf = «... et ainsi de suite. De sorte que si

n . n AH m Q

I' z=zntt tl y = m«, on aura ._ = = -^»

^ >f Z> n P

^ Ainsi on prendra, en général sur les directions des forces P et Ç des parties AD , AH qui leur soient propor- tionnelles 9 on achèvera le parallélogramme HDy la dia- gonafe A G sera la direction de la résultante cherchée (*}• '*«• *• Si les forces P et Q étoient incommensurables entre elles ^ ce théorème auroit également lieu^ car soit, s'il est possible, AO cette résultante. Prenons entre O et G un point / tel que AD et DI soient conmiensurables. Le parallélogramme DK auroit la diagonale AI poiu* la

(*) Cette démonstration est de M. Diicha^Ia, no. 4 de U Correspondanee de l'Ecole Polytechnique,

G>MPOSITIOH BBS FORCES. tS

direction de la résultante de deux forces dont l'une serrà IP et l'antre moindre que Q; ce qui est absurde (i4)«

ly. Quant à l'intensité de la résultante,^ pour la.trourer, * appliquons sur le prolongement AK de la diagonale AG ri^ «. ime force S ^gale à la résultante A^ les puisisances P, Q et 5 seront en équilibre. Mais on peut regarder cet état comme produit par la force Q entre les puissances P ti S} d'oii il suit que AH doit être le prolongement 4e la diagonale du parallélogramme construit sur des lignes proportioBnelies à P et à S. Si donc on forme sur AD le paraDâogramme DKp les longueurs AD et AfC seront entre dDes connue les forces P et S. Or DI= AG=:zAK ; donc AD y AH et AG sont proportionnelles aux forces

En rapprochant ce théorème du précédent , on voit * qpie la résultante de deux forces est représeniée en graa» deur et en direction par la diagonale du parallélogramme construU sur des longueurs proportUmaeUes à ces forcés et prises sur leurs directions,

i8. Il suit de divers corollaires importans. *

L L. proporition ci-d«sn. ±.^Jl^=^^*

AU AH Atr

peut être mise sous une antre forme , en remplaçant les r^. «•.

trois côtés du triangle AD G par les sinus des angles

oçposés DGAy DAG et ADG, ou RAQ^RAPet PAQ.

Soient donc représentés par é , f et « les angles formés

respectirement par R arec P et Q ^ et par celles-ci %ntre

dOeSy nous aurons

P _ Q __ R sin g Sin I sin « '

Donc trois forces gui sont en équilibre , ou deux composantes et leur résultante j sont telles, que chacune

i4 Statique.

m

est proportionnelle au sinus de V angle formé par les di^ rections des deux autres y et peut être remplacée par ce sinus,

* - IL direction de la résultante de deux forces ne

dépend que de leur rapport y de sorte que si on fait vaiier ces forces proportionnellement , on ne changera , nuUe- nienV cette direction. On voit de plus que si les compo- santés P et Q deviennent mP, 'wQ, leur résultante R devient mRy quel que soit m. Donc trois forces ' en équilibre y demeureront lorsqu'on les fera varier propor- tionnellement. Ce qui sera dit (20), prouvera que ces théorèmes ont encore lieu pour un nombre qUelconqtie de forces qui concourent en un point. . . , i^ III. Le problème de lia composition de deux forces ou de la décomposition jd'unè force ei^ deux autres y est réduit à la formation d'un parallélogramme dont on connoît certaiilcs parties. ' '•

* ' IV. Si les forces P et Q sont égales entre elles , le rig. 7. parallélogramme devient ' nii rhombe H AD G' y et Icfà

diagonales HD- et ^G^ont perpendiculaires ;f en dési- gnant par u, le demi-angle formé par les' forces^ on â AE = AD Qos^y d'où AG == 2 AD cos u) ov AG et

AD sont proportionnels à /l et P ) donc

■• 1 '

Rz=: 2.P cos u.

' "... I

* . V. Si lés directions des forces P et Q sont à angle droit j

Tig. «. ïc triangle rectangle ADG donne AG zrn.AD^ -j- GD , ADzzz AG cos ^y DG == AG sin d, en désignant par d l'angle que les forces P et -R forment entre elles. Remplaçons AG y AD et DG par les quantités Ry P et Q qui leur sont proportionnelles, nous aurons

«'=^'+Ç' \ ij)

P zzRcosBy Q = Rsin6)

Composition des forcis. i5

Ces ti*ois équations ; qui n'équivalent qu'à deux distinctes ^ servent à déterminer la grandeur et la direction de la ir^sultante, c'est-à-dire, R et 6. De plus, ces équations servent «ncore à la résolution d'une foule de problèmes, crar il suffît de connoître deux de^ quatre quantités JP, ^5? ^ ®* f; ^^ même deux relations quelconques . entre ^Ues, pour assigner les valeurs des deux autres. On tire c3e ces équations la suivante^ qui peut être utile.

' Q = Ptengd.

Pi^oiis aurons recours perpétuellenient dans la suite aux

expressions (^), car elles servent à changer les forces

^'un système en d'autres qui soient rectangulaires. En effet ^

^pour décomposer une force R en deux autres de dircc-

'ftions rectangulaires et connues, il sufHt de recourir aux

équations P= il cos è , Q-=.Rsinê y qui font voir que

chaque composante est le produit de la force R par

Je cosinus He Vangle qu'elle fait avec cette corrrpo^

^ante»

On poùrroit, il est vrai, employer pour cette décom- position, le parallélogramme des forces (i8, III) : mais on doit regarder ce théorème plutôt comme une construc- tion graphique propre à peindre aux yeux le résultat et à l'énoncer d'une manière commode, que comme offrant un procédé d'une application facile. Nos formules {A^ y. sont bien plus propres , puisqu'elles sont conformes à l'esprit algébrique , qui n'admet pas la nécessité de re- présenter les forces par des lignes (ii). C'est pourquoi à l'avenir nous préférerons recourir à ces formules j car comme on peut presque toujours ramener les directions des forces à ctre perpendiculaires, on évite Je dcsavanlage qu'offrent ces équations de ne pouvoir élrc employées uue lorsque les puissances sont rectaiigulaires. Mais lors<]u'on ne

i6 Statique*

p«ut facilement user de ce moyen y ob doit recourir aux équations données par Fart. (iS, I).

] 9. Comme ie parallélogramme des iPorces isert de fon- dement à toute la mécanique ^ nous avons cru devoir considérer ce théorème d'une manière purement analytique ^ ce qui nous a déterminés à reproduire ici la démonstration que nous avions déjà donnée dans notre première édition. ïif . 9. Premier cas y les Jbrces étant égales. Soient P et Q deux forces égales , la ligne jiz qui divise Pangle PjiQ =: 2 0 en deux parties égales (i5) est la direction de la résultante z s cette résultante est d'ailleurs ter- minée par ê et P , elle varie avec ces quantités ; donc z z=^f{P, ê ). Concevons dans les, mêmes directions deux autres forces égales p et q^ leur résultante jr sera telle que j-z=J*{p ^ tf ) , en désignant par y*la même fonction, de sorte quey*(JP,l) devienne /*(/», é)f en changeant simplement P en p. Comme ê est constant ^ nous aurons

feulement z ^=fP , JT ^=^fP'

Cela posé, si les forces P et py Q et q agissent en- semble, on aura pour leur fésuFtahlc /*(/? -f- -P); mais elle est aussi r + « 5 <îonc fp + fP-zzzf^ p + P) z développons , par le théorème de Tàylor, et nous aurons

fP = P.f'p + rÇ../V + etc.

f'p , f'fp . . . désignant des fonctions, de /? , qui , d'après la notation de Lagrange^ sont les ooefHciens différentiels successifs ^e fp* Le second membre de cette équation identique doit être indépendant de p , car elle établiroit une relation entre Pet p^ ce qui est contraire aux hypothèses : àoxïcf'p , f'p* . . sont indépendans de y? , ou constans. Mais fpz=ia donne f'^p*, nuls, ainsi y!P -=. z'Zz.aP : ce qui veut dire que la résultante z varie proportionnellement

y

Composition i>bs forces. ^ 17

mxLx composantes ^ lorsque l'angle é est ^constant. Gomme a dépend de I ^ nous avons donc ^

Pouf trouver çû y décomposons la force P en deux antres xtX j dirigées suivant les deux lignes Ax et Ay q^i font avec AP deux angles quelconques égaux ài : il est olair qu'on a de même P=ar.^i ^ disons-en autant pour Q. ^ons. avons donc quatre forcées égales à x j qui ont la zziéme résultante z que P et Q ^ et qui font avec Az des ajigles égaux à é ■+ e et tf -* c ; x el x* ont pour résiil— -tante â:.^(é-|-i)j celle de^ tljr' est a:.^(l i): donc

' P.90 = a:..^i.^* = ar.f (^+ «) + X.^ (^— "«)}

^Ce çwï 51/1/ e^/ db Af. Poisson^. Développant y on a

^'f =a li^—.'ï—^ -__ . ÏL^ + etc. \ K "2. çê 2.5.4 9^ , >

^Q peut voir, comme ci-dessus, que puisque ê n'entre P^ dans le premier membre , --Ï- , -^ .... sont in-

^^pendans de I , c'est-à-dire ^ constans : ainsi ^''érra.^éj ^'c>ii ^ en différentiant, ^'^d = a.(p'f6 =: a».^^. . . . et ainsi ^c suite. Donc

^«=2<i i h ■■ ; + etc. K

i 2 2.5.4 f

^^ il est clair que ce développement est celui du cosinus de l'arc i;/ a:donc (pÉ = 2cos (c y/ a) , et comme « ^st une constante indéterminée , nous remplacerons y - a par i , et nous aurons

z = 2Pcos(6d).

2

' i8 Statiqux.

Pour déterminer la constante b ; attribuons auX/ forces

des directions telles que I = -V~~ « ^ désignant la demi- circonférence dont le rayon est un : nous aurons P ^sztlz cos ( ^ sr) OU z=o ) or on sait que la résultante n'est nulle que quand les forces sont opposées ) ainsi ^ est un cadran ^ ou ^ sr : donc 6 = i ^ et on a

z:=. 2 P COS ô.

Deuxième cas. Les forces étant à angle droit. Soient ïig. ». P . et Q les forces , et AR la direction de leur résul- tante. Menons IK tel que Tangle DM = PAR é j KjiQ sera aus§i égal à QjiR et complément de I. Gela posé^ on pourra remplacer la force P par deux autres dirigées suivant AI et AR} l'équation précédente donne

P

pour la valeur de ces composantes : de même

'^ 2 cos * ' '

celles de la force Q seront -^ Les forces P et O